RituelSujet blanc de maths CRPE (bac+3), avec corrigé complet
Voici un sujet d'entraînement de mathématiques que j'ai conçu spécialement, en m'appuyant sur l'analyse des quatre épreuves de la session 2026 (concours bac+3). Il en respecte la structure, le niveau et l'esprit. Vous pouvez le traiter en conditions réelles (environ 2 heures), puis comparer avec le corrigé détaillé qui suit, pensé comme je corrigerais votre copie, en pointant ce que le jury attend.
Un bon entraînement vaut mieux qu'une longue révision passive. Ce sujet balaie les cinq grands blocs qui reviennent systématiquement au CRPE : nombres et probabilités, géométrie et mesures, fonctions et programmes de calcul, raisonnement (vrai/faux), et un QCM final. Prenez une feuille, traitez-le au calme, puis déroulez les corrigés.
Traitez d'abord tout le sujet sans regarder les corrigés. Rédigez comme le jour J : justifiez chaque réponse, séparez les calculs de la phrase-réponse, soignez les unités. Ce n'est qu'ensuite que le corrigé prend toute sa valeur, pour repérer non pas seulement vos erreurs de calcul, mais vos manques de rédaction.
Exercice 1 : Nombres, calculs et probabilités (4,5 points)
Une école élémentaire compte 300 élèves. Une enquête sur leurs activités extrascolaires révèle que :
- 40 % des élèves pratiquent un sport ;
- 75 élèves pratiquent un instrument de musique ;
- parmi les élèves qui pratiquent un instrument, 60 % pratiquent aussi un sport.
1. Compléter un tableau à double entrée croisant « sport » et « instrument de musique ».
2. On choisit un élève au hasard (équiprobabilité).
a) Probabilité qu'il pratique au moins l'une des deux activités (fraction irréductible) ?
b) Sachant qu'il pratique un sport, probabilité qu'il pratique aussi un instrument ?
1. Le tableau. On calcule d'abord les effectifs clés : sport = 40 % de 300 = 120 élèves ; musique = 75 ; sport ET musique = 60 % de 75 = 45. On en déduit tout le reste par soustraction.
| Musique | Pas de musique | Total | |
|---|---|---|---|
| Sport | 45 | 75 | 120 |
| Pas de sport | 30 | 150 | 180 |
| Total | 75 | 225 | 300 |
2a) Au moins une activité. Le plus simple est de passer par l'événement contraire (« aucune des deux »), qui compte 150 élèves.
2b) Probabilité conditionnelle. On se restreint aux élèves qui font du sport (120). Parmi eux, 45 font aussi de la musique.
Exercice 2 : Géométrie, grandeurs et mesures (4,5 points)
Une école conçoit un parterre rectangulaire de 8 m sur 6 m. En son centre, un bassin circulaire de 3 m de diamètre. Le reste est ensemencé de fleurs.
1. Aire totale du parterre ?
2. Aire à ensemencer (arrondie au dixième de m², avec π ≈ 3,1416) ?
3. Un sac de graines couvre 15 m². Combien de sacs au minimum ?
4. Sur un plan à l'échelle 1/50, dimensions du rectangle en cm ?
1. Aire du rectangle = longueur × largeur.
2. On retire l'aire du bassin (disque de rayon 1,5 m) à celle du rectangle.
Aire à ensemencer = 48 − 7,07 ≈ 40,9 m²
3. On divise, puis on arrondit à l'entier supérieur (il faut couvrir toute la zone).
4. À l'échelle 1/50, chaque longueur est divisée par 50 (après conversion en cm).
6 m = 600 cm → 600 ÷ 50 = 12 cm
Le rectangle mesure 16 cm × 12 cm sur le plan.
Exercice 3 : Fonctions et programmes de calcul (4 points)
Programme A : choisir un nombre x, lui soustraire 2, prendre le carré du résultat.
Programme B : choisir x, le multiplier par 3, soustraire 4, puis multiplier le tout par x de départ.
1. Appliquer le programme A avec x = 1/3 (résultat en fraction irréductible).
2. Trouver un entier de départ (autre que 2) pour lequel A donne 9.
3. On note f(x) le résultat de B. Montrer que f(x) = 3x² − 4x.
4. Pour quels nombres de départ le programme B donne-t-il 0 ?
1. On applique les étapes dans l'ordre, en gardant la forme fractionnaire.
2. On cherche x entier tel que (x − 2)² = 9. Donc x − 2 = 3 ou x − 2 = −3.
Vérification : (5 − 2)² = 3² = 9 ✓
3. On traduit le programme B en expression littérale, puis on développe.
4. On résout f(x) = 0 en factorisant (surtout ne pas développer !).
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
x = 0 ou 3x − 4 = 0 → x = 4/3
Exercice 4 : Vrai ou faux (4 points)
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. « Diviser un nombre décimal non nul par 10 ne donne jamais un entier. »
2. « Une hausse de 50 % suivie d'une baisse de 40 % donne globalement une hausse de 10 %. »
3. « Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur est nécessairement un carré. »
4. « Le triangle de côtés 18 cm, 24 cm et 30 cm est rectangle. »
1. FAUX. Un contre-exemple suffit : 30 est un nombre décimal (non nul), et 30 ÷ 10 = 3, qui est bien un entier.
2. FAUX. On multiplie les coefficients, on n'additionne pas les pourcentages.
3. FAUX. Ces deux conditions ne suffisent pas : il manque que les diagonales se coupent en leur milieu. Un cerf-volant peut avoir des diagonales perpendiculaires et de même longueur sans être un carré. Il faut perpendiculaires + même longueur + même milieu pour conclure au carré.
4. VRAI. On teste l'égalité de Pythagore avec le plus grand côté (30) comme hypoténuse.
Les deux sont égaux : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle. (C'est un triangle 3-4-5 multiplié par 6.)
Exercice 5 : QCM (3 points)
Une seule réponse exacte par question, sans justification demandée.
1. La lumière va à 3 × 10⁵ km/s. Le Soleil est à 150 millions de km. Temps mis par la lumière pour nous parvenir ?
2. Triangle ABC rectangle en B, AC = 13 cm, BC = 5 cm. Longueur AB ?
3. Série 51 ; 70 ; 81 ; 13 ; 63 ; 57 ; 99. Quelle affirmation est exacte ?
1. 500 s. Temps = distance ÷ vitesse = 150 000 000 ÷ 300 000 = 500 secondes.
2. 12 cm. Pythagore : AB² = AC² − BC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc AB = 12. (Encore un triplet connu : 5-12-13.)
3. La médiane est 63. On ordonne la série : 13 ; 51 ; 57 ; 63 ; 70 ; 81 ; 99. La valeur centrale (4ᵉ sur 7) est 63.
Cinq exercices, cinq domaines, et à chaque fois le même constat : le calcul est rarement le vrai obstacle. Ce qui fait la différence, c'est la justification, la rédaction et les réflexes (contre-exemple, factorisation, ordonner une série, convertir les unités). C'est exactement ce que l'entraînement régulier ancre, presque sans y penser.
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